针对您提出的问题，即对方全责但只有交强险，住院期间的护工费对方不愿支付并声称出院后交强险能出，以下是我的详细解答：
关于护工费的支付责任：
- 在交通事故中，如果对方全责，那么对方应当承担您因事故产生的所有合理费用，包括住院期间的护工费。护工费是您因受伤无法自理而产生的必要费用，属于交通事故的直接损失，应当由责任方承担。
关于交强险的赔偿范围：
- 交强险（机动车交通事故责任强制保险）确实有一定的赔偿范围，但它主要覆盖的是因交通事故造成的人身伤亡和财产损失。然而，交强险的赔偿是有限额的，并且具体赔偿项目和金额会根据保险条款和事故情况来确定。护工费是否属于交强险的赔偿范围，以及能赔偿多少，需要查看具体的保险条款和事故认定情况。但一般来说，护工费作为因事故产生的必要费用，是有可能得到交强险部分或全部赔偿的。
关于对方不愿支付护工费的处理方式：
- 如果对方不愿支付住院期间的护工费，您可以先与对方协商，说明护工费的必要性和合理性，以及交强险可能存在的赔偿情况。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。您可以向法院提起诉讼，要求对方承担护工费等因事故产生的合理费用。在诉讼过程中，法院会根据事故情况、保险条款以及相关法律法规来作出判决。
关于出院后交强险能否支付护工费的问题：
- 交强险的赔偿并不局限于出院后，而是根据事故造成的实际损失和保险条款来确定。如果护工费是因事故产生的必要费用，并且属于交强险的赔偿范围，那么无论是在住院期间还是出院后，都有可能得到交强险的赔偿。但具体能否赔偿以及赔偿多少，还需要根据保险条款和事故情况来判断。
综上所述，对方应当承担您住院期间的护工费，并且护工费有可能得到交强险的部分或全部赔偿。如果对方不愿支付，您可以通过法律途径来维护自己的权益。如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议和帮助。