私人美甲店开除员工后是否需要结工资，以及这一行为是否合法，需分情况讨论：

1. 合法开除并结工资的情况：

   • 依据劳动合同约定开除：若员工违反了劳动合同中明确的重大违约条款，如严重损害店铺利益、泄露商业机密等，美甲店有权按照合同约定开除员工，并需结清员工应得的工资。这种情况下，开除行为是合法的，且需支付工资。
   • 遵循过失性辞退情形开除：当员工在试用期内被证明不符合录用条件，或有严重违反美甲店规章制度（如多次无故旷工、服务态度恶劣遭大量投诉等）、严重失职、营私舞弊给美甲店造成重大损害等行为时，美甲店可依法辞退员工，并需结清工资。这种情况下，开除行为同样合法，且需支付工资。
   • 进行经济性裁员开除：若美甲店经营困难达到法律规定的裁员条件，如依照企业破产法规定进行重整等，可提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取意见后，将裁减人员方案向劳动行政部门报告，进行裁员，其中包括辞退员工。这种情况下，开除行为合法，且需支付员工应得的工资和经济补偿金（如适用）。

2. 非法开除且可能需支付赔偿的情况：

   • 若美甲店无合法理由开除员工，或开除程序不符合法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿金等），则开除行为可能构成违法解除劳动合同。此时，美甲店不仅需结清员工应得的工资，还可能需按照法律规定支付赔偿金。

法律建议：

• 对于美甲店而言，在开除员工前应仔细审查劳动合同条款、店铺规章制度以及相关法律法规，确保开除行为合法合规，并结清员工应得的工资和经济补偿金（如适用）。
• 对于员工而言，若认为美甲店的开除行为不合法或未结清工资，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身合法权益。

总结：私人美甲店开除员工后是否需要结工资，以及这一行为是否合法，取决于开除的原因和程序是否符合法律规定。在任何情况下，美甲店都应确保员工的合法权益得到保障，避免因违法开除而引发法律纠纷。如有任何法律问题或疑虑，可直接向我咨询。