针对您提出的问题，即公司发出不续签终止劳动合同通知，而员工没有书面不同意终止，员工如何证明不同意，以下是我的详细解答：

1. 证明不同意的方式：

   • 口头表达记录：如果员工在公司发出不续签通知后，曾口头向公司表达过不同意终止劳动合同的意愿，并尽可能保留相关证据，如录音、录像或见证人的证言。这些证据在后续可能发生的劳动争议中，可以作为员工不同意终止劳动合同的证明。

   • 行为表现：员工可以通过继续正常上班、履行工作职责等行为，间接表达不同意终止劳动合同的意愿。这种行为表现虽然不如书面或口头证据直接，但在一定情况下也可以作为员工态度的参考。

   • 寻求法律帮助：在得知公司不续签劳动合同的通知后，员工可以及时寻求专业律师的帮助，通过律师向公司发出正式的法律函件，明确表达不同意终止劳动合同的意愿，并要求公司继续履行劳动合同。这种方式既具有法律效力，又能有效保护员工的合法权益。

2. 法律建议：

   • 及时沟通：员工在得知公司不续签劳动合同的通知后，应尽快与公司进行沟通，明确表达自己的意愿和诉求。通过沟通，双方有可能达成一致意见，避免劳动争议的发生。

   • 保留证据：无论员工选择何种方式证明不同意终止劳动合同，都应注意保留相关证据。这些证据在后续可能发生的劳动争议中，将起到至关重要的作用。

   • 了解法律权益：员工应了解自己的法律权益，包括但不限于经济补偿、社会保险等。在劳动争议中，员工可以依法维护自己的合法权益。

3. 可能的法律后果：

   • 如果员工能够成功证明不同意终止劳动合同，而公司仍然坚持不续签，那么公司可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，包括支付经济赔偿等。

   • 如果员工无法证明不同意终止劳动合同，或者公司有充分的理由不续签劳动合同（如员工严重违反公司规章制度等），那么公司终止劳动合同的行为可能被视为合法，员工将无法获得经济赔偿等法律权益。

综上所述，员工在面对公司发出不续签终止劳动合同通知时，应积极采取措施证明自己的不同意意愿，并寻求专业律师的帮助以维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。