涉嫌嫖娼被拘留出来后，如果认为拘留决定侵犯了其合法权益，确实有权在法定期限内依法提起行政诉讼或申请行政复议。以下是对此问题的详细分析：

1. 行政诉讼的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第二条，公民、法人或其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益时，有权向人民法院提起诉讼。涉嫌嫖娼被拘留属于行政处罚行为，若当事人认为拘留处罚存在处罚主体不合法、程序违法、认定事实错误等情形，即可依据此条提起行政诉讼。
   • 同时，该法第十二条第（一）项明确规定，人民法院受理对行政拘留等行政处罚不服的诉讼，进一步确认了当事人对涉嫌嫖娼相关行政拘留决定不服时的起诉权利。

2. 行政复议的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第一百零二条，被处罚人对治安管理处罚决定不服的，可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼。这意味着，如果当事人对涉嫌嫖娼的拘留决定不服，有权先向作出处罚决定的机关的上一级机关申请行政复议。
   • 复议机关将对原处罚决定进行审查，并作出维持、变更或撤销的决定。若复议结果仍不满意，当事人可以依法提起行政诉讼。

3. 实际操作指导：

   • 时效与证据：行政诉讼和行政复议均有严格的程序和时效要求。当事人应当在法定期限内提起诉讼或申请复议，并准备好相关证据材料以支持自己的诉求。证据应包括但不限于拘留决定书、相关证人证言、物证、视听资料等能证明拘留决定违法或不当的材料。
   • 法律咨询与代理：由于行政诉讼和行政复议涉及复杂的法律程序和专业知识，建议当事人在提起诉讼或申请复议前咨询专业律师（如我），以获得专业的法律指导和代理服务。

4. 特殊情况说明：

   • 需要注意的是，如果公安机关在查处过程中仅做了笔录，而尚未作出正式的处罚决定，那么此时当事人是不能申请行政复议或提起行政诉讼的。因为行政复议和行政诉讼都是针对已经作出的具体行政行为进行的审查，而在处罚决定作出之前，并不存在一个可供复议或诉讼的具体行政行为。

综上所述，涉嫌嫖娼被拘留出来后，如果当事人认为拘留决定侵犯了其合法权益，完全有权利在法定期限内通过提起行政诉讼或申请行政复议来维护自己的合法权益。但请务必注意遵守法律规定的程序和时效要求，并提供充分的证据和理由来支持自己的观点。如有任何法律问题，欢迎直接向我咨询。