关于“哪个部门可以开除老师”的问题，这通常取决于教师的违规行为性质以及所在的教育体系和管理规定。

首先，我们需要明确的是，教师作为教育工作者，其职业行为受到严格的职业道德规范和法律法规的约束。当教师出现违反职业道德或法律法规的行为时，相关部门有权根据情节严重程度给予相应的处分，包括开除。

在中小学教育体系中，如果教师出现严重的违反职业道德行为，如违背党和国家方针政策、不履行保护学生人身安全职责、不公平公正对待学生、弄虚作假、营私舞弊、体罚或变相体罚学生、骚扰学生或与学生发生不正当关系、索要或收受家长学生财物、谋取个人利益、组织或参与校外有偿补课等，根据《中小学教师违反职业道德行为处理办法》等相关规定，学校及其主管教育部门有权对教师进行处分，包括开除。

具体来说，开除教师的决定通常由学校或其主管教育部门作出。在作出决定前，会听取教师的陈述和申辩，也可能听取学生、其他教师、家长委员会或家长代表的意见。必要时，还会组织听证以确保决定的公正性和合理性。

此外，如果教师的违规行为涉及违法犯罪，如性侵、虐待学生等严重行为，除了教育部门的处分外，还可能面临司法机关的刑事追究。

对于高校教师或其他教育机构的教师，开除的决定通常也由其所在的教育机构或相关管理部门根据内部规定和法律法规作出。

综上所述，可以开除老师的部门主要是学校或其主管教育部门，具体取决于教师的违规行为性质以及所在的教育体系和管理规定。在处理此类问题时，相关部门会严格遵循法律法规和职业道德规范，确保决定的公正性和合理性。