当您的龙眼树被擅自砍伐时，您可以按照以下步骤来追究责任：

一、立即报警并取证

首先，您应该立即向当地公安机关报案，说明龙眼树被砍伐的情况，并请求警方介入调查。同时，为了确保后续追究责任的顺利进行，您需要尽可能收集相关证据，如现场照片、视频、目击者证言等。这些证据将有助于确定砍伐者以及砍伐行为的具体情况和时间。

二、了解相关法律法规

在追究责任的过程中，了解相关法律法规是非常重要的。根据《广东省城市绿化条例》等相关法规，任何单位和个人都不得擅自砍伐、迁移树木。如果因公益性市政建设需要砍伐、迁移树木，必须经绿化行政主管部门审核审批。因此，如果砍伐者未经批准擅自砍伐您的龙眼树，他们将面临法律责任。

三、联系相关部门进行调查

除了报警外，您还可以联系当地的城市管理执法部门或林业部门，向他们反映情况并请求调查。这些部门将派遣专业人员前往现场进行核查，并根据调查结果对砍伐者进行相应的处罚。如果砍伐行为构成犯罪，相关部门还将依法追究其刑事责任。

四、寻求法律途径维权

如果砍伐者的行为给您造成了经济损失或精神损害，您可以通过法律途径维权。您可以咨询专业律师，了解您的权益和维权途径。在律师的帮助下，您可以向砍伐者提起民事诉讼，要求他们承担赔偿责任。

总之，当您的龙眼树被擅自砍伐时，您应该立即采取行动来追究责任。通过报警、取证、了解法律法规、联系相关部门以及寻求法律途径维权等步骤，您可以有效地维护自己的权益并追究砍伐者的法律责任。