房租合同到期后，如果双方没有续签合同但承租人继续租赁房屋，这种情况下原合同仍然有效，但租赁关系会转变为不定期租赁。以下是对这种情况的详细解答：

一、不定期租赁的法律性质

根据《民法典》的规定，租赁期限届满后，如果承租人继续使用租赁物，并且出租人没有提出异议，那么原租赁合同将继续有效，但租赁期限将变为不定期。这意味着双方都可以随时解除合同，不过出租人在解除合同时需要提前在合理期限内通知承租人。

二、双方的权利与义务

1. 租金支付：在不定期租赁期间，承租人仍然需要按照原合同约定的标准和方式支付租金。如果原合同对租金没有约定或约定不明确，双方可以协商补充协议；如果无法达成补充协议，可以按照当地的交易习惯或市场行情来确定。

2. 租赁物维护：出租人需要保证租赁物符合约定的用途，并承担必要的维修义务。如果租赁物出现问题，承租人可以按照原合同的要求请求出租人进行维修。

3. 合同解除：双方都有权随时解除不定期租赁合同，但出租人解除合同时需要提前在合理期限内通知承租人，以便承租人有时间做好搬迁准备。如果出租人未提前通知就解除合同，可能需要承担违约责任，赔偿承租人因此产生的损失。

三、建议与注意事项

1. 及时续签：为了避免不定期租赁带来的不确定性，建议双方在租赁期限届满前及时续签租赁合同，明确租赁期限、租金标准等关键条款。

2. 保持沟通：在不定期租赁期间，双方应保持密切沟通，及时了解彼此的需求和想法，以便在需要时能够协商一致并达成书面协议。

3. 注意证据保留：在租赁过程中，双方都应注意保留相关证据，如租金支付记录、维修请求记录等，以便在发生纠纷时能够提供依据。

综上所述，房租合同到期后继续租赁但未续签合同的情况下，双方应明确不定期租赁的法律性质，并遵守相关法律法规和合同约定。同时，为了保障各自的权益，建议双方及时续签租赁合同或保持密切沟通以应对可能出现的问题。