起诉变更抚养权的一审判决书送达方式主要有以下几种，具体取决于法院能否通过常规方式联系到被告：
一、常规送达方式
直接送达：法院会首先尝试直接送达判决书给被告。这通常意味着法院的工作人员会将判决书直接送到被告的住所、工作单位或其他被告可能接收邮件的地方，并要求被告签收。
邮寄送达：如果直接送达不成功，法院可能会选择通过邮政系统邮寄判决书给被告。在这种情况下，判决书会被寄到被告的户籍所在地或法院已知的被告的其他有效地址。
留置送达：如果直接送达时被告不在场，但与其同住的成年家属在场，法院可以将判决书交给该家属，并视为送达。如果被告的住所无人接收，法院也可以将判决书留在被告的住所，并采用拍照、录像等方式记录送达过程，即视为送达。
委托送达：如果被告在外地，法院可以委托当地法院代为送达判决书。
电子送达：在被告同意的情况下，法院也可以通过电子邮件、短信等电子方式送达判决书。
二、公告送达方式
如果法院无法通过以上常规方式送达判决书，或者被告下落不明，法院可能会选择公告送达。公告送达通常会在法院的公告栏、官方网站或被告可能关注的其他媒体上发布判决公告。公告中会明确说明判决书的主要内容，并指定一个公告期满的日期。在公告期满后，无论被告是否实际看到公告，都视为判决书已经送达。
例如，在您提供的参考信息中，江苏省溧阳市人民法院就是通过公告方式向原告汤菲送达了变更抚养关系的判决书。公告中明确指出了判决书的编号、主要内容、公告期满的日期以及法院的联系信息等。
三、送达后的注意事项
无论判决书是通过哪种方式送达的，被告在收到判决书后都应该仔细阅读其内容，并根据判决书的要求履行相应的义务。如果对判决书有异议或需要进一步的法律帮助，建议及时咨询专业律师。
综上所述，起诉变更抚养权的一审判决书送达方式多种多样，具体取决于被告的情况和法院的选择。无论哪种方式，都旨在确保被告能够及时、准确地收到判决书，并了解其内容。