关于您提出的“打架斗殴被拘留和罚款后没有和解没有住院，双方不起诉是否可以”的问题，我可以为您提供以下详细解答：

首先，打架斗殴被拘留通常分为行政拘留和刑事拘留两种情况，这两种拘留的性质和后续影响是不同的。

1. 行政拘留：

   • 行政拘留是一种行政处罚，它并不直接关联到对方是否起诉。
   • 当您因打架斗殴被处以行政拘留并缴纳罚款后，拘留期满您就会被释放。
   • 但是，如果打架斗殴给对方造成了人身损害，即使对方没有立即起诉，您依然需要承担相应的民事赔偿责任。对方在后续任何时间都有权通过起诉来主张这种赔偿。

2. 刑事拘留：

   • 刑事拘留则与刑事诉讼程序相关，它涉及到可能存在的犯罪行为。
   • 在刑事拘留的情况下，对方是否起诉并不影响刑事诉讼程序的进行。刑事公诉案件是由检察院代表国家提起诉讼的。
   • 如果经过侦查和审查，发现犯罪事实清晰、证据确凿充分，检察院就会提起公诉。相反，如果情节轻微或者证据不足，检察院可能会决定不起诉，此时您会被释放，并且一般不会留下犯罪记录。

综上所述，无论打架斗殴导致的是行政拘留还是刑事拘留，双方是否起诉并不影响各自可能面临的法律后果。特别是如果给对方造成了人身损害，即使对方没有起诉，您也可能需要承担民事赔偿责任。

因此，在打架斗殴被拘留和罚款后，即使双方没有和解也没有住院，且双方都不起诉，您仍然需要关注可能存在的民事赔偿责任，并遵守相关的法律规定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业的法律人士。