行政事业单位建造的居民活动室通常不能给商家无偿使用。以下是对这一问题的详细分析：

1. 性质与用途：

   • 行政事业单位建造的居民活动室，其性质通常属于公共设施或公益设施，旨在服务于社区居民，提供文化、娱乐等公共活动场所。
   • 这些设施的建设和运营往往由财政资金支持，具有明确的公益性和服务性。

2. 法律法规约束：

   • 根据相关法律法规，公共设施的使用应当符合其设定的目的和用途，不得擅自改变其性质或用途。
   • 商家无偿使用居民活动室，可能涉及改变设施用途的问题，这通常需要经过相关部门的批准和监管。

3. 公平性与合理性：

   • 居民活动室是社区居民共有的公共资源，应当公平、合理地分配给所有居民使用。
   • 如果允许商家无偿使用，可能会损害其他居民的使用权益，引发不公平现象。

4. 例外情况：

   • 在某些特殊情况下，如商家提供的服务或活动与居民活动室的功能相契合，且能够惠及社区居民，经过相关部门批准后，可能会允许商家在特定时间内无偿使用居民活动室。
   • 但这种情况通常需要严格的审批流程和监管机制，以确保公共资源的合理使用和社区居民的权益不受损害。

综上所述，行政事业单位建造的居民活动室通常不能给商家无偿使用。如果商家有使用需求，应当通过正规渠道向相关部门提出申请，并遵守相关法律法规和审批流程。同时，社区居民也应当积极监督公共设施的使用情况，确保公共资源的公平、合理利用。