当行政监督不支持监督申请决定存在错误时，当事人可以通过多种法律救济途径来维护自己的合法权益。具体分析如下：

一. 向上一级人民法院申请再审

1. 申请再审的期限：当事人需在驳回申诉后六个月内提出，确保申诉的时效性。
2. 申请再审的条件：需符合法定的再审情形，如有新的证据足以推翻原判决、裁定，或者原判决认定事实错误等。在申请时，当事人需提交再审申请书等相关材料，详细阐述申请再审的理由和依据。

二. 向人民检察院申请检察建议或抗诉

1. 申请检察监督：当事人可向人民检察院提出申请，请求检察院通过抗诉或检察建议等方式推动案件的再审。
2. 检察院的审查：人民检察院会对符合法定条件的行政诉讼申诉案件进行审查，并依法作出相应决定。若符合条件，检察院会依法启动监督程序，对错误决定进行纠正。

三. 其他救济途径

1. 监察救济：针对行政机关的行政侵权行为，当事人可以向行政监察部门提出申诉，请求其进行监察处理。
2. 立法救济：若对行政机关及其公务人员的行政侵权行为持有异议，当事人可向人大常委会提起申诉，以保护自身合法权益。
3. 复议救济：当事人认为某项具体行政行为侵害了自己的合法权益时，可以向上一级行政机关或该行政机关内部设立的专门机构提出申诉，并要求得到法律救助。

我建议，在寻求救济过程中，当事人应严格遵循法律规定的程序和期限，准备充分的证据和理由。同时，要注意申诉材料的真实性、合法性和关联性，确保申诉理由充分、证据确凿。如有进一步需要，您可以继续咨询我。