未签订租赁合同，房主出售房子并不构成中止租期的合法理由。以下是对此问题的详细分析：

一. 租赁合同的存在与租期保护

1. 租赁合同的重要性：租赁合同是租赁双方权利义务的书面证明，它明确了租赁期限、租金、租赁条件等关键条款。在没有租赁合同的情况下，双方的权利义务关系变得模糊，难以界定。
2. 租期保护：即使未签订书面租赁合同，如果双方实际上已经形成了租赁关系（如租客已经支付租金并入住），那么租客仍然享有一定的租期保护。房主不能仅凭出售房子就单方面中止租期。

二. 房主出售房子的影响

1. 买卖不破租赁：根据《民法典》的相关规定，租赁物在租赁期间发生所有权变动的，不影响租赁合同的效力。这意味着，即使房主将房子出售，租客仍然有权继续租赁该房子，直到租期结束或双方协商一致提前终止。
2. 租客的优先购买权：在房主出售房子时，租客还享有优先购买权。如果房主未通知租客或未给予租客优先购买的机会，租客有权要求房主承担赔偿责任。

三. 建议与结论

1. 我的建议：对于租客而言，即使未签订书面租赁合同，也应尽可能收集证据（如租金支付记录、居住证明等）来证明租赁关系的存在。如果房主试图以出售房子为由中止租期，租客可以依法维护自己的权益，要求继续履行租赁关系或寻求赔偿。
2. 法律依据：《民法典》第七百二十五条规定：“租赁物在承租人按照租赁合同占有期限内发生所有权变动的，不影响租赁合同的效力。”这一条款明确保护了租客的租期利益不受房主出售房子的影响。

综上所述，未签订租赁合同并不意味着房主可以随意中止租期。在租赁关系实际存在的情况下，租客仍然享有租期保护，并有权要求房主继续履行租赁关系或承担相应的法律责任。如有进一步需要，您可以继续咨询我。