当经营许可证到期政府要求担保公司退出时，担保公司需要按照相关规定和流程办理注销融资担保业务经营许可证的手续。以下是一个清晰、详细、有深度的解答步骤：

一、了解政策与法规

首先，担保公司需要详细了解和遵守《北京市融资担保公司监督管理办法》中关于融资担保公司解散、不再从事融资担保业务或被依法宣告破产的相关规定。这些规定将指导公司如何正确、合法地完成退出过程。

二、准备申请材料

1. 关于融资担保公司（注销）的申请：

   • 申请人自备，需加盖公司公章并由法定代表人签字。
   • 申请内容需符合《北京市融资担保公司监督管理办法》第十七条的规定。

2. 代理人授权委托书（如适用）：

   • 若由代理人办理，需提供此委托书，并加盖公司公章及经办人签字。

3. 融资担保公司基本情况表：

   • 反映公司当前的基本状况，需加盖公司公章。

4. 中华人民共和国融资担保业务经营许可证：

   • 提供原件，作为注销的依据。

三、办理流程

1. 提交申请：

   • 将准备好的申请材料提交至当地金融监管部门，如北京市地方金融管理局。

2. 审查与决定：

   • 金融监管部门将对提交的材料进行审查，确保材料齐全、合规。
   • 审查通过后，金融监管部门将作出注销融资担保业务经营许可证的决定。

3. 清算与公告：

   • 担保公司需依法成立清算组进行清算，对未到期债务及融资担保责任的承接作出明确安排。
   • 清算完成后，将担保业务清算报告报送至区金融工作部门及市金融监管局。
   • 市金融监管局注销其行政许可审批文件和融资担保业务经营许可证，并通报市场监督管理部门予以公告。

四、注意事项

1. 时间要求：

   • 办理时间需遵循当地政务服务中心的工作时间，并留意是否有延时服务或周六服务。

2. 地点要求：

   • 前往指定的政务服务中心或窗口办理，确保提交材料的准确性和完整性。

3. 监督与投诉：

   • 如在办理过程中遇到问题或不满，可通过投诉监督电话或窗口进行反馈。

五、后续安排

完成注销手续后，担保公司应妥善处理好与债权债务人的关系，确保所有业务平稳过渡。同时，公司也需考虑未来的发展方向，是选择重新申请经营许可证还是转型其他业务。

综上所述，当经营许可证到期政府要求担保公司退出时，公司应严格按照相关规定和流程办理注销手续，确保合法、合规地完成退出过程。