关于虚假宣传由授权代理公司承担还是由保险公司承担的问题，这并非一个绝对的答案，而是需要根据具体情况来分析。以下是我根据法律实务经验给出的详细解答：
一般情况下，授权代理公司的责任：
- 授权代理公司作为保险公司的代理人，在代理范围内以保险公司的名义进行业务活动，包括宣传、销售等。
- 如果授权代理公司在宣传过程中存在虚假宣传行为，且该行为导致了消费者的损失，那么根据代理关系的法律规定，授权代理公司通常应承担相应的法律责任。
- 保险公司可能会基于与授权代理公司的代理合同，要求授权代理公司承担因其虚假宣传行为给保险公司带来的损失。
特殊情况下，保险公司的责任：
- 尽管授权代理公司承担主要责任，但保险公司在某些情况下也可能对虚假宣传承担责任。
- 例如，如果保险公司对授权代理公司的宣传行为进行了明确的授权或默许，或者保险公司对授权代理公司的监督和管理存在明显疏忽，导致虚假宣传行为的发生，那么保险公司也可能被视为共同侵权者，承担相应的法律责任。
- 此外，如果保险公司的宣传材料或产品说明中存在误导性信息，即使这些信息是由授权代理公司传播的，保险公司也可能因此承担责任。
综合判断与建议：
- 在具体案件中，需要综合考虑授权代理公司的行为、保险公司的授权与监督情况、以及消费者的损失等因素，来判断责任归属。
- 对于消费者而言，如果遭遇虚假宣传导致损失，可以首先向授权代理公司主张权益。如果授权代理公司无法承担或拒绝承担责任，也可以考虑向保险公司提出索赔要求。
- 对于保险公司和授权代理公司而言，应加强内部管理，确保宣传行为的真实性和合法性，以避免潜在的法律风险。
综上所述，虚假宣传的责任归属并非一成不变，而是需要根据具体情况来判断。如果你在这方面有具体的法律问题或纠纷，可以随时向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。