当股东病逝且没有继承人时，其持有的股份将按照相关法律和公司章程的规定进行处理。以下是详细的分析和解答：

1. 查看公司章程：

   • 首先，应查看公司章程中是否有关于股东死亡且无继承人时股权处置的特别规定。
   • 如果公司章程有明确约定，如规定由其他股东受让、公司回购等，那么应按照公司章程的规定执行。

2. 无公司章程规定时的处理：

   • 如果公司章程没有相关规定，通常情况下，该股东的股权可以由其他股东按照公司章程规定的流程来受让。
   • 若其他股东不愿意受让，则可以通过拍卖等方式将股份转让给其他人。
   • 在此过程中，必须确保程序合法合规，防止引发不必要的法律纠纷，并妥善留存股东去世的相关证据。

3. 法律上的处理：

   • 根据《中华人民共和国民法典》及《公司法》的相关规定，若股东无继承人，且公司章程无特别约定，该股东的股权将成为其遗产。
   • 在无继承人的情况下，若有受遗赠人表示接受遗赠，股权可由受遗赠人取得。
   • 若无受遗赠人或受遗赠人放弃，该股权作为无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；若股东生前是集体所有制组织成员，则归所在集体所有制组织所有。

4. 公司后续处理：

   • 公司应按照法定程序办理相应的股权变更登记等手续，确保公司的正常运营和其他股东的合法权益不受影响。
   • 若股权处理过程中涉及公司减资、拍卖等事项，还需遵循相关法律法规和公司章程的规定，履行相应的决策和审批程序。

综上所述，股东病逝且没有继承人时，其股权的处理需首先查看公司章程的特别约定；无约定时，则按照法定程序由其他股东受让或拍卖转让；在法律上，若无继承人且无受遗赠人，股权将归国家所有或所在集体所有制组织所有。公司应确保整个处理过程的合法合规性，并妥善办理相关手续。