是否需要重新进行精神鉴定，主要取决于立遗嘱时的具体情况和法律规定。

首先，我们需要明确，公正遗嘱时要求80岁的老人进行精神鉴定，主要是为了确保老人在立遗嘱时具有完全民事行为能力，即能够清楚理解自己的行为并自主作出决定。这是为了保护老人的合法权益，防止因精神状况不佳而被他人操纵或误导。

对于下一次公正遗嘱是否需要重新进行精神鉴定，我们可以从以下几个方面进行分析：

1. 时间间隔：如果两次公正遗嘱的时间间隔较长，比如数年甚至更久，且老人的精神状态在此期间有可能发生变化，那么重新进行精神鉴定是有必要的。因为随着时间的推移，老人的身体状况和精神状态都可能发生变化，需要重新评估其民事行为能力。

2. 老人的精神状态：如果在立第一次遗嘱后，老人的精神状态出现了明显的变化，比如出现了认知障碍、精神失常等情况，那么在下一次公正遗嘱时，也必须重新进行精神鉴定。这是为了确保老人在立遗嘱时仍然具有完全民事行为能力。

3. 法律规定：另外，还需要考虑当地的法律规定。不同地区对于遗嘱公正和精神鉴定的要求可能有所不同。因此，在下一次公正遗嘱前，最好先咨询当地的公证处或律师，了解具体的法律规定和要求。

综上所述，是否需要重新进行精神鉴定并没有一个固定的答案。它取决于多种因素，包括时间间隔、老人的精神状态以及当地的法律规定等。因此，在下一次公正遗嘱前，建议老人及其家属咨询当地的公证处或律师，根据具体情况来决定是否需要重新进行精神鉴定。