被刑事拘留的人有权自己指定律师作为辩护人。
分析说明：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条的规定，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。这明确赋予了被刑事拘留的人委托律师的权利。
权利行使：
- 被刑事拘留的人可以自己行使委托权，指定律师作为其辩护人。若其在押，也可以由其监护人、近亲属代为委托。
- 侦查机关、人民检察院及人民法院在相应阶段均负有告知义务，需及时通知犯罪嫌疑人或被告人其享有委托辩护人的权利。
律师的作用：
- 律师在被刑事拘留的案件中扮演着至关重要的角色，包括提供法律咨询、代理申诉与控告、申请变更强制措施以及了解案情并提出意见等。
总结：
综上所述，被刑事拘留的人依法享有委托律师作为辩护人的权利，且律师的介入对于保障其合法权益、推动案件公正处理具有重要意义。因此，在面临此类情况时，建议尽快咨询并委托专业的律师进行辩护。若你有进一步的法律问题或需要详细的法律帮助，请直接向我咨询。