当刑事拘留的人自己要求请律师时，这是完全合法且合理的权利，以下将为您详细阐述整个流程及注意事项：
一、法律依据与权利确认
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，就有权委托辩护人，且在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。这意味着，从被刑事拘留的那一刻起，犯罪嫌疑人就享有请律师为自己辩护的权利。
二、申请流程
了解自身权利：
- 被拘留者首先应明确自己有权委托律师进行辩护，这是法律赋予的基本权利。
通知家属或亲友：
- 由于被拘留者可能无法直接与外界联系，他们可以通过看守所的管理人员通知家属或亲友，告知自己希望聘请律师的意愿。
家属或亲友代为聘请律师：
- 家属或亲友在接到通知后，应根据案件情况和个人需求，选择合适的律师进行委托。在选择律师时，应重点考虑律师的专业能力、执业经验、口碑和信誉等因素。
- 可以通过熟人推荐、律所官网、网络平台等多种渠道获取律师信息，并进行初步筛选和联系面谈。
办理委托手续：
- 家属或亲友与律师达成委托意向后，需要签订正式的《委托代理合同》和《授权委托书》。合同中应明确双方的权利义务、服务范围、费用标准及支付方式等内容。
- 支付律师费用后，律师将凭借委托合同和相关证件到看守所会见被拘留者，了解其案情并提供法律帮助。
三、律师介入后的工作
会见犯罪嫌疑人：
- 律师获得批准后，会携带必要证件前往看守所会见被拘留者，详细了解案件经过、涉嫌罪名等关键信息。
- 为被拘留者提供法律咨询，解释相关法律知识，告知其权利和义务。
制定辩护策略：
- 根据案情，律师会制定初步的辩护策略，为后续工作奠定基础。
- 律师会依法收集有利于被拘留者的证据材料，包括查阅案卷、会见证人、调取证据等。
代理申诉与控告：
- 如发现侦查机关存在违法行为，律师可代理被拘留者向有关部门提出申诉或控告。
申请变更强制措施：
- 根据案件进展和被拘留者实际情况，律师可向办案机关申请变更强制措施，如取保候审等。
参与庭审活动：
- 当案件进入审查起诉或审判阶段，律师将作为辩护人参与庭审，提出辩护意见和证据，为被拘留者争取最佳结果。
四、注意事项
- 及时沟通：在整个过程中，被拘留者及其家属应与律师保持密切的沟通和联系，及时提供案件相关信息和证据材料。
- 尊重律师工作：尊重律师的工作安排和专业判断，共同努力维护被拘留者的合法权益。
- 遵守法律法规：在聘请律师和后续流程中，应严格遵守相关法律法规的规定，确保所有行为的合法性和有效性。
综上所述，刑事拘留的人自己要求请律师是完全合法且合理的权利。通过遵循上述流程，可以更有效地应对刑事拘留情况，保护当事人的合法权益。