终审法院下出不予监外执行的案件可以申请复议。以下是详细分析：
当终审法院作出不予监外执行的决定时，这通常是基于案件的具体情况和相关法律规定。若对这一决定有异议，可以按照以下步骤处理：
申请复议：
- 在法定期间内，向上一级法院提出复议申请。
- 在复议申请书中，需要清晰、详细地阐述当事人符合监外执行的理由和依据。例如，如果当事人患有严重疾病，应具体说明疾病对其身体机能的影响，以及在监狱内无法得到有效治疗的情况。
准备证据：
- 准备充分且真实有效的证据材料来支持复议申请。例如，疾病诊断证明应包含详细的病情诊断、治疗建议等；如果当事人生活不能自理，可提供相关材料如生活状态的记录、护理需求评估等，以证明当事人确实具备监外执行的条件。
寻求其他救济途径：
- 如果上一级法院维持原决定，可以考虑通过申诉等合法途径来进一步争取权益。
- 在此过程中，应严格遵循法定程序，如按照规定的时间、方式提交申诉材料等。
综上所述，对于终审法院下出的不予监外执行的决定，是可以申请复议的。在申请复议时，应确保提供充分的理由和依据，并准备相应的证据材料来支持申请。如果复议申请未能得到满意的结果，还可以考虑通过其他合法途径来进一步维护当事人的权益。