农民工工资支付问题主要受多个政府部门的联合监管，以确保农民工的合法权益得到有效保障。以下是具体的管辖部门及其职责说明：

一、核心监管部门

1. 人力资源和社会保障部门（人社部门）：

   • 负责牵头处理农民工工资问题，监督用人单位的劳动用工和工资支付情况。
   • 依法受理拖欠工资的举报、投诉，并查证后责令用人单位限期支付；若逾期不支付，将加付赔偿金。
   • 建立健全工资支付监控和保障制度，推进诚信体系建设。

2. 劳动监察部门：

   • 负责监督检查用人单位遵守劳动法律法规的情况，特别是工资支付方面。
   • 接收农民工的投诉，对用人单位进行调查，并责令其改正支付拖欠的工资。

二、其他相关监管部门

1. 劳动争议仲裁委员会：

   • 受理并解决劳动者与用人单位之间的劳动争议，包括工资争议。
   • 提供仲裁服务，审理并裁决工资纠纷案件。

2. 人民法院：

   • 受理并解决劳动纠纷诉讼案件，对不服仲裁结果或用人单位不履行仲裁裁决的农民工提供司法救济。

3. 住房和城乡建设、交通运输、水利等部门：

   • 在各自行业职责范围内，监管因违法发包、转包、分包等导致的拖欠工资案件。
   • 督办相关领域的拖欠工资案件，规范市场秩序，防止因工程款拖欠导致农民工工资拖欠。

4. 发展改革部门：

   • 审查政府投资项目的资金来源，预防因资金不足引发的工资问题。

5. 财政部门：

   • 管理政府投资资金的预算和使用，确保资金及时足额拨付，协同处理涉及政府财政资金的项目工资拖欠问题。

三、维权建议

1. 保留证据：农民工应妥善保留劳动合同、工资条、考勤记录等相关证据，以证明劳动关系和工资拖欠事实。

2. 选择适当部门：根据具体情况选择合适的部门进行投诉和维权，如首先向人社部门或劳动监察部门反映情况。

3. 依法维权：按照法定程序进行投诉、申请仲裁或提起诉讼，避免采取过激行为。

4. 寻求专业帮助：在维权过程中遇到困难时，可以寻求法律援助机构、总工会或律师的帮助，以获得专业的法律支持和指导。

综上所述，农民工工资问题涉及多个政府部门的监管和职责。农民工在遭遇工资拖欠时，应了解相关部门的职责和维权流程，依法、有序地进行维权，以确保自身合法权益得到有效保障。