当员工医疗期满后继续请病假时，用人单位应依据自身规章制度及法律规定来妥善处理。以下是一些具体的建议：

首先，用人单位应要求员工提供由正规医疗机构出具的病假证明。这是判断员工是否需要继续休息的重要依据。如果员工无法提供合理的病假证明，用人单位可以按照旷工等相关规定进行处理。

其次，如果员工确实因病情需要继续治疗，用人单位应给予一定的理解与协商空间。可以与员工沟通，了解其病情和治疗计划，以及是否有可能调整工作岗位或工作方式，以便员工能够在不影响病情治疗的前提下，继续为单位贡献力量。例如，可以考虑提供远程工作、弹性工作时间或调整工作内容等安排。

然而，如果员工长期以病假为由影响工作，且其病情并不符合法律规定的医疗期情形，用人单位在综合考虑员工病情、单位规定及法律要求后，可以依法解除劳动合同。但在此过程中，用人单位必须遵循法定程序，如提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资，并支付相应的经济补偿。

此外，如果当地人社部门在员工医疗期满时可以进行劳动能力复工鉴定，建议用人单位申请鉴定，根据鉴定结果来判断是否能够解除劳动合同。同时，用人单位也可以在规章制度和劳动合同中明确规定，员工在医疗期满后继续请病假的，属于不能从事原工作，用人单位可据此进行调岗或采取其他相应措施。

总之，处理医疗期满继续请病假的问题时，用人单位应综合考虑多方面因素，平衡员工权益和单位利益，确保处理方式的合理性和合法性。