在合同纠纷中，付款方承担了已经付款的证明责任，这一规定主要源于合同法及相关的司法解释。以下是对此问题的详细解答：

结论前置：

付款方在合同纠纷中确实承担了证明其已经付款的责任。这一责任是基于“谁主张，谁举证”的民事诉讼原则，以及合同法对于合同履行义务的相关规定。

详细解答：

1. 合同履行的基本原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同是当事人之间设立、变更、终止民事法律关系的协议。在合同中，付款通常被视为履行合同的一项重要义务。
   • 当付款方主张其已经履行了付款义务时，根据“谁主张，谁举证”的原则，付款方应当提供相应的证据来证明其主张。

2. 付款证明的具体要求：

   • 付款方需要提供的证据应当能够清晰、明确地证明其已经按照合同约定的方式、时间、金额等履行了付款义务。
   • 常见的付款证明包括银行转账记录、收据、发票等。这些证据应当具有真实性、合法性、关联性，以确保其证明力。

3. 法律后果：

   • 如果付款方无法提供充分的证据证明其已经付款，那么根据合同法的规定，付款方可能需要承担违约责任，包括继续履行付款义务、赔偿损失等。
   • 同时，如果付款方因无法证明其已经付款而引发诉讼，那么其可能需要承担败诉的风险，并承担相应的诉讼费用。

4. 实际案例：

   • 在实际案例中，法院通常会根据付款方提供的证据来判断其是否已经履行了付款义务。如果付款方提供的证据充分、有效，那么法院通常会支持付款方的主张；反之，如果付款方无法提供充分的证据，那么法院可能会判决付款方承担违约责任。

综上所述，付款方在合同纠纷中确实承担了证明其已经付款的责任。这一责任是基于合同法的相关规定以及民事诉讼的举证原则。因此，在合同履行过程中，付款方应当妥善保留相关证据，以确保在发生纠纷时能够证明其已经履行了付款义务。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。