事业单位的员工一般不可以自行申请改变工资发放银行。以下是对这一结论的详细解释：

1. 制度规定：事业单位的工资发放通常遵循一定的财务制度和规定，这些制度往往由事业单位的管理层或相关部门制定，并可能经过上级部门的批准。因此，员工个人通常无法随意更改工资发放银行。

2. 统一管理：为了便于财务管理和资金监管，事业单位往往会选择统一的银行进行工资发放。这样不仅可以减少财务管理上的复杂性，还能确保资金的及时、准确到账。因此，从管理的角度出发，事业单位也不太可能允许员工自行选择工资发放银行。

3. 特殊情况：当然，也存在一些特殊情况。比如，如果事业单位与银行之间的合作关系发生变化，或者员工因特殊原因（如银行服务问题、个人银行账户问题等）确实需要更换工资发放银行，那么员工可以向事业单位的相关部门提出申请，并按照单位的规定和流程进行办理。但这种情况通常属于例外，需要得到单位的批准和同意。

综上所述，事业单位的员工一般不可以自行申请改变工资发放银行。如果员工有这方面的需求或疑问，建议直接向事业单位的人力资源部门或财务部门咨询，以了解具体的规定和操作流程。