私人老板被纪委留置一个星期后，被立案调查并继续留置，很可能是因为其涉嫌严重违纪或职务违法、职务犯罪问题，且相关问题需要进一步深入调查。以下是对此情况的详细分析：

一. 留置措施的原因

1. 涉嫌严重违纪或职务违法：根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，被调查人涉嫌贪污贿赂、失职渎职等严重职务违法或者职务犯罪，监察机关已经掌握其部分违法犯罪事实及证据，仍有重要问题需要进一步调查，并有下列情形之一的，经监察机关依法审批，可以将其留置在特定场所：涉及案情重大、复杂的；可能逃跑、自杀的；可能串供或者伪造、隐匿、毁灭证据的；可能有其他妨碍调查行为的。私人老板若涉及此类问题，便可能被采取留置措施。

2. 继续留置的必要性：在被立案调查后，若监察机关认为仍有必要继续深入调查，且符合留置条件，可以决定继续留置。这通常是因为案件复杂、涉及金额巨大、影响广泛，或者被调查人可能存在逃避调查、干扰调查等行为。

二. 立案调查与留置的关系

• 立案调查是监察机关对涉嫌违纪或职务违法、职务犯罪问题进行的正式调查。一旦立案，就意味着监察机关已经初步掌握了相关证据，并决定对案件进行深入调查。
• 留置措施是立案调查过程中的一种重要手段，旨在确保被调查人配合调查，防止其逃避、干扰或破坏调查。因此，在立案调查期间，若监察机关认为有必要，可以依法对被调查人采取留置措施。

三. 后续可能的走向

• 进一步调查：监察机关将继续深入调查，收集更多证据，以查清案件事实。
• 依法处理：根据调查结果，监察机关将依法对被调查人作出处理决定，可能包括移送司法机关追究刑事责任、给予党纪政务处分等。

我建议：对于私人老板而言，如果被纪委留置并立案调查，应当积极配合调查，如实说明情况，争取从轻或减轻处理。同时，其家属或代理人也可以寻求专业法律帮助，了解相关法律规定和程序，维护被调查人的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。