当员工擅自离职并给单位造成损失时，单位有权依法向该员工提出索偿。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿的依据与原则
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者若违反法律规定或劳动合同约定解除劳动合同，并因此给用人单位造成损失的，应当承担赔偿责任。
赔偿原则：
- 单位在索赔时需遵循合理性及公正性原则，赔偿数额应依据实际损失进行计算，包括直接经济损失以及可以预见到的间接损失。单位无权设定过高的赔偿金额，赔偿标准必须以实际发生的合理损失为准。
二、赔偿的范围
员工擅自离职给单位造成的损失通常包括以下几类：
- 招录费用：如招聘过程中的广告费、猎头费用等。
- 培训费用：单位为员工支付的专项培训费用，若双方有服务期约定，员工未按约定履行即擅自离职，则需按约定赔偿部分或全部培训费用。
- 直接经济损失：如因员工离职导致项目停滞、合同无法履行等产生的额外费用或违约金赔付等。
- 其他损失：劳动合同中约定的其他因员工擅自离职而产生的赔偿费用。
三、追偿的步骤
确定损失范围与数额：
- 单位需首先明确因员工擅自离职所造成的具体损失范围及数额，包括直接和间接损失。
收集证据：
- 单位应收集相关证据，如招聘支出凭证、培训合同及费用发票、业务受损证明等，以证实损失与员工离职之间的因果关系。
协商解决：
- 单位可先与员工进行沟通，明确其擅自离职所造成的损失，并要求员工承担赔偿责任。若双方能达成赔偿协议，则按协议执行。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，单位可在规定时间内（通常为知道或应当知道权利被侵害之日起一年内）向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需提交书面仲裁申请及相关证据。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满，单位可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，由法院判决员工是否应承担赔偿责任及具体赔偿金额。
四、建议与预防措施
完善内部制度：
- 单位应完善内部管理制度，明确擅自离职的责任和赔偿规定，以便在发生纠纷时有明确的处理依据。
加强证据管理：
- 单位在日常工作中应做好证据收集和管理工作，如保存招聘支出凭证、培训合同及费用发票等，以便在发生纠纷时能有效维权。
加强员工教育：
- 单位应加强对员工的教育和培训，提高员工的法律意识和职业素养，引导员工依法解除合同，避免擅自离职行为的发生。
综上所述，当员工擅自离职并给单位造成损失时，单位可依法向员工提出索偿。在索赔过程中，单位需遵循合理性及公正性原则，明确损失范围与数额，并收集相关证据以证实损失与员工离职之间的因果关系。若双方无法协商解决，则可通过劳动仲裁或诉讼途径进行维权。同时，单位也应加强内部管理和员工教育，以预防类似纠纷的发生。