美容院在提供服务后不给客户开发票的行为确实是违法的。以下是对这一问题的详细解答：

法律依据

根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方应向付款方开具发票。同时，《消费者权益保护法》第二十二条也规定，经营者提供商品或者服务时，应当按照国家有关规定或者商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或者服务单据。因此，美容院作为提供服务的经营主体，有义务在消费者支付费用后为其开具发票。

发票的重要性

1. 交易凭证：发票是消费者与美容院之间交易关系的证明，它记录了交易的具体内容和金额。
2. 维权依据：在发生消费纠纷时，发票是消费者维权的重要依据。它可以帮助消费者证明自己的消费行为和金额，从而支持其诉求。
3. 税务监管：发票也是税务部门监管商家、防止偷税漏税的重要手段。通过发票，税务部门可以了解商家的实际收入情况，确保其依法纳税。

美容院的违法后果

如果美容院拒绝开具发票，将可能面临以下后果：

1. 税务机关的处罚：包括责令改正、处以1万元以下的罚款以及没收违法所得等。
2. 商业信誉受损：拒开发票的行为会损害美容院的商业信誉，影响其长期经营和客户关系。

消费者的应对措施

1. 要求开具发票：消费者有权要求美容院开具发票，这是消费者的法定权利。在支付费用时，应主动向美容院索要发票。
2. 向税务部门举报：如遇拒开发票的情况，消费者可以向当地税务部门进行举报。税务机关会依法对美容院进行处理，保护消费者的合法权益。
3. 选择正规美容院：为保障自己的合法权益，建议消费者选择正规、有信誉的美容院进行消费。这样可以降低遇到拒开发票等问题的风险。

综上所述，美容院在提供服务后必须开具发票，这是其法定义务。消费者应了解自己的权利，积极索要发票，并在遇到拒开发票的情况时采取适当的措施维护自己的合法权益。