当劳动者对职业病鉴定结果存在异议时，他们可以按照以下步骤进行申诉或寻求进一步的鉴定：

一、初次鉴定异议处理

首先，如果劳动者对职业病诊断机构作出的职业病诊断结论有异议，他们可以在接到职业病诊断证明书之日起三十日内，向职业病诊断机构所在地设区的市级卫生行政部门提出初次鉴定申请。这一步骤是确保劳动者的权益得到及时和有效的保障，同时也为后续的申诉流程奠定了基础。

二、再鉴定申请

如果劳动者对初次鉴定结论仍然不服，他们可以在接到鉴定书之日起十五日内，向原鉴定组织所在地省级卫生行政部门申请再鉴定。这一步骤是进一步确保鉴定的公正性和准确性，因为省级卫生行政部门通常具有更高的权威性和专业性。

三、最终鉴定结论

值得注意的是，职业病鉴定实行两级鉴定制。也就是说，省级职业病鉴定结论为最终鉴定。如果劳动者对再鉴定结论仍然有异议，那么他们需要通过其他途径来维护自己的权益，比如寻求法律援助或咨询相关专业人士。

在处理这些异议的过程中，劳动者需要保留好所有相关的医疗记录、诊断证明和鉴定结论等文件，以便在需要时提供证明。同时，他们也可以咨询专业的劳动法律师或相关机构，以获取更具体的法律建议和支持。

总之，当劳动者对职业病鉴定结果存在异议时，他们应该及时了解并遵循相关的申诉流程，以确保自己的权益得到妥善处理。