物业有权劝阻业主在楼梯抽烟的行为，并要求其停止该行为。

一. 物业的职责与权限

1. 物业管理职责：根据《物业管理条例》的相关规定，物业有义务维护物业管理区域内的公共秩序和环境卫生。楼梯作为公共区域，其环境卫生和秩序维护是物业的职责之一。
2. 劝阻与制止权：对于违反公共秩序和环境卫生的行为，物业有权进行劝阻和制止。在楼梯抽烟不仅影响环境卫生，还可能引发安全隐患，因此物业有权要求业主停止该行为。

二. 处理流程

1. 发现行为：物业工作人员在日常巡查中发现业主在楼梯抽烟的行为。
2. 劝阻与记录：物业工作人员应立即上前劝阻，并告知业主楼梯是公共区域，抽烟不仅影响环境卫生，还可能对他人造成健康危害。同时，物业应做好相关记录，包括时间、地点、抽烟人员等信息。
3. 上报与处理：如果业主拒绝停止抽烟行为，物业应及时上报给相关部门或领导，并根据小区管理规定进行相应的处理，如罚款、通报批评等。

三. 法律后果

1. 违反规定：如果业主在楼梯抽烟的行为违反了小区管理规定或相关法律法规，物业有权依据规定进行处理，并可能追究业主的法律责任。
2. 安全隐患：抽烟不仅影响环境卫生，还可能引发火灾等安全隐患。如果因抽烟导致火灾等事故发生，业主将承担相应的法律责任。

我的观点：作为物业，有责任和义务维护小区内的公共秩序和环境卫生。对于在楼梯抽烟的行为，物业应及时劝阻并要求业主停止该行为。如果业主拒绝配合，物业应根据小区管理规定进行相应的处理，以确保小区内的安全和环境卫生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。