公益岗三年到期自然退出后，是否可以和原单位继续续签合同，这个问题并非有绝对的答案，而是需要根据具体情况和单位规定来判断。

一般来说，公益性岗位的各项政策享受期为3年，3年期满以后就不再享受公益性岗位的优惠政策。这意味着，在政策享受期满后，公益性岗位的合同通常会到期终止。然而，如果原单位有继续聘用该员工的意愿，并且双方能够就续签事宜达成一致，那么公益性岗位的员工是有可能与原单位续签合同的。

在续签合同的过程中，需要遵循一定的规定和程序。首先，续签合同需符合当地公益岗位相关政策及管理办法，一般要求岗位人员继续履行公益职责且工作表现良好。其次，合同续签期限通常依据当地规定，一般为1-3年不等。在续签前，原单位通常会对岗位人员进行考核评估，考核内容包括工作任务完成情况、服务质量等方面，以确定是否具备续签条件。最后，续签合同需遵循法定程序，如双方协商一致、签订书面协议等。

因此，对于公益性岗位的员工来说，在合同到期前，应提前与原单位沟通，了解续签的相关政策和要求，以便做好相应的准备。如果双方都有续签的意愿，并且能够满足续签的条件和程序，那么就有可能成功续签合同。但如果存在一方不同意续签或者无法满足续签条件的情况，那么续签的难度就会比较大。

总的来说，公益岗三年到期自然退出后能否和原单位继续续签合同，取决于双方的意愿、当地政策以及续签的条件和程序。建议员工在合同到期前与原单位进行充分沟通，并了解相关政策规定，以便做出合理的决策。