工厂没给员工签合同且拖欠工资的情况，主要由以下单位进行管理：

结论前置：工厂没给员工签合同且拖欠工资，主要由当地的劳动监察大队或劳动监察部门进行监管，员工可以向其投诉举报。同时，员工也有权向劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，要求工厂支付拖欠的工资并承担相应的法律责任。

详细分析：

1. 劳动监察大队或劳动监察部门：

   • 根据《劳动保障监察条例》等相关法律法规，劳动监察大队或劳动监察部门是负责监督企业遵守劳动法律法规的政府机构。
   • 当工厂存在未与员工签订劳动合同或拖欠工资等违法行为时，员工可以向当地的劳动监察大队或劳动监察部门进行投诉举报。
   • 劳动监察部门在接到投诉后，会进行调查核实，并根据调查结果对工厂进行相应的处理，如责令改正、罚款等。

2. 劳动仲裁委员会：

   • 如果员工与工厂之间因工资等问题发生争议，且无法通过协商解决，员工可以向当地的劳动仲裁委员会提起劳动仲裁。
   • 劳动仲裁委员会是负责处理劳动争议的专门机构，其裁决结果具有法律效力。
   • 在劳动仲裁过程中，员工需要提供相关证据来证明自己的主张，如工资条、工作记录等。如果劳动仲裁委员会认定工厂存在拖欠工资等违法行为，会裁决工厂支付拖欠的工资并承担相应的法律责任。

法律建议：

• 员工在遭遇工厂未签合同且拖欠工资的情况时，应首先保留好相关证据，如工作记录、工资条等。
• 接着，可以向当地的劳动监察大队或劳动监察部门进行投诉举报，要求其进行调查处理。
• 如果问题无法通过劳动监察部门解决，员工还可以向劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，维护自己的合法权益。

希望这些建议能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。