首先，我们明确一下您的问题：您想了解的是如何申请对支付抚养费义务人失踪或死亡的认定，以便进一步执行抚养费的相关事宜。针对这个问题，我可以从以下几个方面为您详细解答：

1. 申请失踪认定：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，利害关系人可以向人民法院申请宣告该自然人失踪。
   • 申请流程：
     1. 准备好相关材料，包括申请书、申请人的身份证明、与失踪人的关系证明等。
     2. 向失踪人最后出现地的基层人民法院提出书面申请。
     3. 法院受理后，会进行公告，期满如无人提出异议，法院将作出失踪宣告。
   • 后续影响：一旦失踪被宣告，失踪人的财产将由其配偶、成年子女、父母或者其他愿意担任财产代管人的人代管，您作为抚养费的权利人，可以向财产代管人请求支付抚养费。

2. 申请死亡认定：

   • 法律依据：同样根据《中华人民共和国民法典》，利害关系人可以向人民法院申请宣告该自然人死亡。
   • 申请条件：通常要求下落不明满四年，或者因意外事件下落不明满二年，或者因意外事件下落不明，经有关机关证明该自然人不可能生存的，申请不受二年时间的限制。
   • 申请流程：与申请失踪认定类似，需要准备相关材料并向法院提出申请，法院会进行公告和审理。
   • 后续影响：死亡被宣告后，其遗产将开始继承，您作为抚养费的权利人，可以依法参与遗产的分配，以获取应得的抚养费。

请注意，无论是申请失踪还是死亡认定，都需要您提供充分的证据来证明相关事实，并且这些程序都需要一定的时间。在这个过程中，如果您遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，都可以直接向我咨询。