当员工在工作期间由于自己的疏忽导致受伤时，可以按照以下步骤进行处理：

一、立即救治

首要任务是确保员工得到及时有效的医疗救治。这不仅能减轻员工的痛苦，还能为后续可能涉及的工伤认定和赔偿提供必要的医疗证明。单位应迅速将受伤员工送往附近的医疗机构进行救治，并垫付相关的医疗费用（如单位已为员工购买了相关保险，则后续可由保险公司进行理赔）。

二、工伤认定申请

1. 单位申请：根据法律规定，单位应在员工受伤后30日内，向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。这是单位的法定义务，旨在保障员工的合法权益。申请时，单位需提交员工的劳动关系证明、医疗诊断证明等相关材料。

2. 员工自行申请：若单位未在规定时间内提出工伤认定申请，员工或其近亲属、工会组织可在受伤后1年内自行向当地社会保险行政部门提出申请。此时，员工需自行准备并提交相关证明材料。

三、享受工伤待遇

1. 认定后待遇：若员工被认定为工伤，将依法享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期间的工资福利、一次性伤残补助金等（具体待遇根据伤残等级和当地政策而定）。

2. 单位未缴保险：若单位未依法为员工缴纳工伤保险费，则员工应享受的工伤保险待遇由单位承担。这意味着单位需自行支付员工的医疗费用、停工留薪期间的工资等费用。

四、注意事项

1. 保留证据：员工和单位都应妥善保留与工伤相关的所有证据，如医疗记录、事故现场照片、目击者证言等，以备后续可能需要的证明或争议解决。

2. 沟通协商：在工伤认定和赔偿过程中，员工和单位应保持积极沟通，共同协商解决方案。若双方存在争议，可寻求法律援助或向当地劳动监察部门投诉。

综上所述，员工在工作期间因自己疏忽受伤时，单位应及时送医并申请工伤认定。若单位未履行相关义务，员工有权自行申请并享受相应的工伤保险待遇。在整个过程中，双方应积极配合、沟通协商，以确保员工的合法权益得到妥善保障。