这个问题涉及到的是侵权责任和行政监管两个层面。从管辖部门的角度来说，主要是由当地的应急管理部门（如安全生产监督管理局）或者农业农村部门来管。

首先，从侵权责任的角度来看，如果农民私自挖鱼塘，并且没有采取必要的安全措施，导致他人淹死，那么农民可能需要承担侵权责任。在这种情况下，受害者或其家属可以通过法律途径寻求赔偿。

其次，从行政监管的角度来看，农民私自挖鱼塘可能违反了土地管理、水利管理等方面的法律法规。因此，当地的应急管理部门或农业农村部门有权对此进行监管，并可能采取相应的行政处罚措施。

具体来说，如果鱼塘的挖掘涉及到了非法占用土地、破坏水利设施等行为，那么应急管理部门或农业农村部门就有权进行查处。他们可能会要求农民停止违法行为，恢复土地原状，并可能处以罚款等行政处罚。

总之，农民私自挖鱼塘淹死人是一个比较复杂的问题，涉及到多个部门和多个法律领域。如果你或者你身边的人遇到了类似的问题，建议及时向我咨询，我会根据你的具体情况提供针对性的法律建议。