当被告在法庭上提出诉讼时效抗辩后，法官会继续审理后续案情。以下是对此问题的详细分析：

1. 诉讼时效抗辩的性质：

   • 诉讼时效抗辩是当事人所拥有的一项法定权利，依据《民法典》等相关法律规定，当事人有权在诉讼过程中提出关于诉讼时效的相关主张。

2. 法院对诉讼时效抗辩的处理：

   • 当被告在一审期间提出诉讼时效抗辩时，法院会对该抗辩事由进行审查。
   • 若经审理认定抗辩事由成立，即诉讼时效确实已过，法院会判决驳回原告的诉讼请求。
   • 若认定抗辩事由不成立，即存在诉讼时效中断、中止等法定情形，或者诉讼时效并未过期，法院则会继续审理该案件，并根据审理结果作出相应判决。

3. 二审期间的特殊情况：

   • 如果被告在二审期间才提出诉讼时效抗辩，除非被告能提供新的证据，证明对方的请求权已经超过了诉讼时效期间，否则法院将不会支持被告的这一抗辩。

4. 实际案例说明：

   • 以小何向小李借款的案例为例，一审时小何未提出诉讼时效抗辩，法院继续审理并判决小何还款。二审时小何提出诉讼时效抗辩，但因其未提供新证据，法院未支持其抗辩，继续推进程序。

综上所述，只要被告提出诉讼时效抗辩，法院不会仅仅因为诉讼时效问题就直接终止案件审理，而是会对该抗辩进行详细审查，并根据审查结果决定是否继续审理案件。因此，被告提出诉讼时效抗辩后，法官会继续审理后续案情，直至作出最终判决。