针对您提出的“桉树木买卖不按合同付款应该向什么部门起诉”的问题，我可以直接告诉您，这类合同纠纷应当向有管辖权的人民法院提起诉讼。接下来，我会详细解释这一结论，并为您提供一些相关的法律建议。
一、核心结论
桉树木买卖不按合同付款属于合同纠纷，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，您应当向有管辖权的人民法院提起诉讼，通过司法程序来解决争议。
二、详细解释
管辖权的确定：
- 合同纠纷一般由被告住所地或者合同履行地人民法院管辖。
- 如果合同中明确约定了管辖法院，且该约定不违反法律关于级别管辖和专属管辖的规定，那么应当按照约定来确定管辖法院。
起诉的准备：
- 在起诉前，您需要收集相关证据，包括合同文本、交易记录、沟通记录等，以证明对方存在不按合同付款的违约行为。
- 您需要撰写起诉状，明确诉讼请求和事实、理由，并附上相关证据材料。
诉讼程序：
- 提交起诉状后，法院会进行审查，符合立案条件的会予以立案。
- 立案后，法院会安排庭审，双方需要在庭审中进行举证、质证和辩论。
- 法院会根据查明的事实和法律规定，作出判决或者裁定。
三、法律建议
- 及时咨询专业律师：在起诉前，建议您咨询专业律师，了解具体的法律程序和注意事项，以确保您的权益得到有效保护。
- 保留好相关证据：证据是诉讼的关键，您一定要妥善保管好所有与合同有关的证据材料。
- 考虑和解或调解：在诉讼过程中，您也可以考虑与对方进行和解或接受法院的调解，以更快、更经济的方式解决争议。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。