市场监督管理行政处罚信息在特定情形下可以不予公示，以下是对这些情形的详细解答：

一、不予公示的具体情形

1. 涉及未成年人：

   • 如果被处罚者是未成年人，那么相关的行政处罚处理结果将不会在网络上进行公开发布，以保护未成年人的权益和隐私。

2. 涉及敏感信息：

   • 如果案件的关键性事实部分涉及到国家机密、商业机密以及个人隐私等敏感领域，这些信息将不会被公开，以防止敏感信息的泄露。

3. 可能危害安全：

   • 公开某些行政处罚信息可能会对国家安全、公众安全、经济安全以及社会稳定性造成潜在风险。在这种情况下，这些信息也将不予公开。

4. 行政执法机构认定不宜公开：

   • 如果省级或以上级别的行政执法机构认定某些行政处罚信息不宜在互联网上进行公开披露，那么这些信息也将不会被公开。

5. 企业申请不公示且符合条件：

   • 企业在特定条件下可以申请行政处罚信息不予以公示。例如，涉及商业秘密、个人隐私等敏感信息，或者受到较轻行政处罚（如警告、通报批评和较低数额罚款）且满足一定条件（如主动履行行政处罚决定、主动改正违法行为并消除危害后果和不良影响）的情况。

二、相关法律依据

• 《行政处罚结果信息网上公开暂行办法》规定了行政执法机关的行政处罚结果信息网上公开工作，并明确了不予公开的情形。
• 《市场监督管理行政处罚信息公示规定》进一步明确了行政处罚信息的公示与不公示情形，为企业提供了在特定条件下的救济途径。

三、申请不公示的流程

对于企业申请行政处罚不公示的情况，需要遵循以下流程：

1. 提交申请：企业应向市场监督管理部门提交书面申请及守信承诺书，明确说明申请不公示的理由和依据。
2. 审核决定：市场监督管理部门将在收到申请之日起一定期限内（通常为五个工作日）作出是否予以不公示的决定。
3. 后续处理：如果决定不公示，市场监督管理部门将及时停止相关信息公示。如果企业隐瞒真实情况、提供虚假材料或以欺骗等不正当手段取得行政处罚信息不公示，市场监督管理部门将撤销原决定，恢复公示，并可能依法追究企业的法律责任。

综上所述，市场监督管理行政处罚信息在涉及未成年人、敏感信息、可能危害安全、行政执法机构认定不宜公开以及企业申请且符合条件等情形下可以不予公示。企业在申请不公示时应确保提交的材料真实、完整，并严格按照规定流程操作。