针对您提出的“市场监督管理申请处罚信息不公示依据什么法律”的问题，根据《市场监督管理行政处罚信息公示规定》（2021年7月30日国家市场监督管理总局令第45号公布，并根据后续修正进行了更新），以下是对此问题的详细解答：

首先，我们需要明确的是，市场监督管理部门在作出行政处罚决定后，通常会将相关信息记录于国家企业信用信息公示系统，并向社会公示，这是为了加快构建以信用为基础的新型市场监管机制，强化市场主体信用监管，促进社会共治，维护公平竞争的市场秩序。然而，也存在一些特定情况下，行政处罚信息不予公示。

具体来说，根据《市场监督管理行政处罚信息公示规定》的第二条，仅受到警告行政处罚的不予公示，但法律、行政法规另有规定的除外。这意味着，如果市场主体仅受到警告这一相对较轻的行政处罚，其处罚信息通常不会被公示。但需要注意的是，如果法律或行政法规有特别规定，那么即使只是警告处罚，也可能需要公示。

此外，该规定还明确了其他一些不予公示或可以提前停止公示的情况。例如，行政处罚信息公示达到规定时限要求，且同时符合一定条件（如已经自觉履行行政处罚决定中规定的义务、已经主动消除危害后果和不良影响等）的，可以向作出行政处罚决定的市场监督管理部门申请提前停止公示。但需要注意的是，对于某些较为严重的行政处罚（如责令停产停业、限制开展生产经营活动、限制从业等），则不得提前停止公示。

综上所述，市场监督管理申请处罚信息不公示的依据主要是《市场监督管理行政处罚信息公示规定》中的相关条款。特别是第二条中关于仅受到警告行政处罚的不予公示的规定，以及后续条款中关于提前停止公示的条件和限制。在实际操作中，市场监督管理部门会严格按照这些规定来执行行政处罚信息的公示工作。