故意杀人罪被判处死刑立即执行由最高人民法院执行。具体来说：
执行命令的签发：根据《刑事诉讼法》第二百六十一条规定，最高人民法院判处和核准的死刑立即执行的判决，应当由最高人民法院院长签发执行死刑的命令。这是死刑立即执行程序中的关键一步，确保了死刑执行的合法性和权威性。
执行程序的严谨性：死刑立即执行的执行程序非常严谨，必须严格按照法律规定进行。除了最高人民法院的判决和核准外，还需要经过一系列的程序，如死刑执行命令的签发、执行前的准备、执行过程中的监督等，以确保死刑执行的公正、准确和合法。
复核程序的必要性：即便一审法院判处被告人死刑立即执行，案件还需经过最高人民法院的复核程序。这一程序是对死刑判决的全面审查，包括事实、证据、法律适用以及程序合法性等方面，以确保死刑判决的公正性和准确性。只有经过复核程序并确认无误后，才能执行死刑。
综上所述，故意杀人罪被判处死刑立即执行时，由最高人民法院负责执行，并需严格遵守相关法律规定和程序要求。如果你对此类法律问题有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。