当你遇到私了受伤协议对方没按约定时间付款的情况时，你可以采取以下措施来维护自己的权益：

1. 发函催告：

   • 首先，你可以给对方发一封正式函件，明确告知对方其未按协议约定时间付款已构成违约，并详细阐述违约可能带来的后果，如可能面临法律诉讼等。
   • 在函件中，设定一个合理的限期支付时间，督促对方尽快履行付款义务。

2. 法律诉讼：

   • 若发函催告后对方仍未履行付款义务，你可以依据私了协议的约定，向有管辖权的法院提起诉讼。
   • 在诉讼过程中，你需要准备充分的证据来支持你的诉求，包括私了协议、相关医疗费用凭证、受伤情况证明等。
   • 法院会根据事实和证据进行审理，并作出判决。若判决对方支付款项，但对方仍不履行，你可以通过强制执行程序来要求对方支付。

3. 主张违约责任：

   • 在提起诉讼时，除了要求对方支付协议中的款项外，你还可以主张逾期付款的利息损失等违约责任。
   • 法院在判决时，会根据协议的约定和实际情况，对违约责任进行认定和裁决。

综上所述，面对私了受伤协议对方没按约定时间付款的情况，你应先尝试通过发函催告的方式督促对方履行付款义务。若催告无果，则应及时向法院提起诉讼，并准备充分的证据来支持你的诉求。在诉讼过程中，你还可以主张逾期付款的违约责任，以维护自己的合法权益。