首先，结论上，建设单位是否会起诉监理单位，取决于多个因素，包括但不限于假章的使用对工程建设和验收的具体影响、监理单位的职责履行情况、以及建设单位与监理单位之间的合同约定等。

现在，我们来详细分析这个问题：

1. 假章对工程建设和验收的影响：

   • 如果员工个人私自刻制的假章被用于工程验收文件，导致验收不能通过，这首先是一个违法行为，可能涉及刑事犯罪（如伪造公司印章罪）。
   • 该行为可能导致工程延期、建设单位额外损失等后果，这些后果的严重性和范围将直接影响建设单位是否选择通过法律途径追究责任。

2. 监理单位的职责：

   • 监理单位在工程建设过程中负责监督、检查工程质量，确保工程符合设计和规范要求。
   • 如果监理单位未能尽到应有的监督职责，导致假章被使用且工程不能验收，那么监理单位可能需要承担一定的法律责任。

3. 建设单位与监理单位之间的合同约定：

   • 建设单位与监理单位之间通常会签订监理合同，明确双方的权利、义务和责任。
   • 如果合同中明确规定了监理单位在防止和发现假章使用方面的职责，且监理单位未能履行这些职责，那么建设单位有权根据合同约定追究监理单位的违约责任。

4. 法律诉讼的可能性：

   • 在上述情况下，如果建设单位认为监理单位的失职行为导致了其损失，那么建设单位有可能会选择起诉监理单位，要求其承担相应的法律责任。
   • 但是，是否起诉还取决于建设单位的意愿、损失的大小、以及诉讼的成本和收益等因素。

综上所述，建设单位是否会起诉监理单位并不是一个简单的是非问题，而是需要根据具体情况来判断。如果你或你所在的公司面临类似的问题，建议尽快咨询专业律师，以便更准确地评估法律风险和应对策略。作为专业律师，我在经济纠纷、劳动纠纷、刑事辩护、知识产权等领域都有丰富的经验，欢迎随时向我咨询。