收到事业单位开具的行政性收据后遗失，且对方不同意重开，这确实是一个比较棘手的问题。不过别担心，我来帮你分析并给出建议。
首先，明确结论：收据遗失后，你可以尝试通过其他方式证明支付事实，并与事业单位沟通协商，寻求解决方案。如果对方仍然拒绝重开，你可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
接下来，我详细解释一下：
证明支付事实：
- 你可以尝试查找其他证据来证明你已经支付了相关费用。比如，银行转账记录、电子支付凭证、对话记录或证人证言等。
- 如果这些证据能够形成完整的证据链，证明你确实已经支付了费用，那么即使收据遗失，也不影响你主张自己的权益。
与事业单位沟通：
- 在证明支付事实的基础上，你可以再次与事业单位沟通，说明情况，并请求他们提供一份收据的复印件或者出具一份证明，确认你已经支付了相关费用。
- 沟通时，要保持冷静和礼貌，尽量说明你的困境和需求，争取对方的理解和配合。
法律途径：
- 如果事业单位仍然拒绝重开收据或提供证明，并且这对你造成了实际损失，你可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
- 你可以向当地人民法院提起民事诉讼，要求事业单位承担相应的法律责任。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明你的支付事实和因此遭受的损失。
最后，给你一些建议：
- 在处理这类问题时，一定要保留好所有与支付相关的证据，以便在需要时能够证明自己的权益。
- 如果可能的话，尽量与事业单位保持良好的沟通关系，以便在出现问题时能够及时得到解决。
- 如果你觉得自己的权益受到了侵害，不要害怕通过法律途径来维护自己的权益。但是，在提起诉讼之前，一定要咨询专业律师（比如我），确保你的诉讼请求有理有据。
希望这些建议能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。