结论前置：教师寒暑假加班的合法性需结合具体情况分析。若学校与教师协商一致且遵守相关法律法规，则加班合法；否则，可能构成违法安排工作时间。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三十九条，企业因生产特点不能实行标准工时制的，经劳动行政部门批准，可以实行其他工作和休息办法。这意味着，如果学校因教学特点需要在寒暑假安排教师加班，并且这一安排已经过劳动行政部门批准，那么加班是合法的。
- 同时，《教师法》第七条规定教师享有寒暑假的带薪休假，但这并不排除在特定情况下，如学校有特殊教学需求或教师自愿加班等，教师可以在寒暑假期间工作。
加班费的支付：
- 根据《劳动法》第四十四条，法定休假日安排劳动者工作的，应支付不低于工资的300%的工资报酬。因此，如果教师在寒暑假期间的加班属于法定加班情形（如法定节假日加班），学校应按规定支付加班费。
- 需要注意的是，公办学校教师的加班及加班费方面可能主要依据各地政策及学校内部管理规定，与私立学校教师的加班费支付标准可能有所不同。
举证责任：
- 在加班费纠纷中，教师需要承担初步举证责任，证明加班事实的存在。这可能包括加班通知、记录、工作成果等证据。
- 如果学校否认加班或对加班时长有异议，则由学校承担举证责任。
实际操作中的考虑因素：
- 教师应明确自己的工作性质（如在编教师还是合同制教师）以及与学校签订的劳动合同中关于加班和加班费的具体约定。
- 在加班前，教师应与学校就加班时间、工作内容、加班费支付等事项进行协商，并确保这一安排符合相关法律法规和学校规定。
- 如果教师对加班安排或加班费支付有疑问或不满，应及时与学校沟通并寻求解决方案。如果认为自己的权益受到了侵害，可以向劳动行政部门投诉或寻求法律援助。
综上所述，教师寒暑假加班的合法性取决于具体情况。如果学校与教师协商一致且遵守相关法律法规，那么加班是合法的。同时，教师应明确自己的工作性质和与学校签订的劳动合同中关于加班和加班费的具体约定，并在加班前与学校进行充分协商。如果权益受到侵害，应及时寻求解决方案。