私自损坏市政道路绿化是违法的行为，根据《城市绿化条例》及相关地方性法规，如《新疆维吾尔自治区实施〈城市绿化条例〉办法》，对此类行为有明确的处罚规定。以下是对此问题的详细解答：
一、法律责任
停止侵害与罚款：
- 一旦发现私自破坏城市绿化，相关部门（如城市绿化行政主管部门或其授权的单位）会责令破坏者立即停止侵害行为。
- 根据情节轻重，破坏者可能还会被处以罚款。具体罚款金额可能因地区而异，例如，在某些地区，损坏城市绿化设施可被处以500元以上5000元以下的罚款。
赔偿责任：
- 如果破坏行为导致了绿化设施的损失，破坏者需要承担赔偿责任，对受损的绿化进行经济补偿。
- 在某些情况下，如造成重大损失，除承担赔偿责任外，还可能被处以损失金额一定倍数（如3倍以下）的罚款。
治安管理处罚：
- 当破坏行为达到应当给予治安管理处罚的程度时，会依照《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定进行处罚。
刑事责任：
- 若破坏行为情节严重，构成犯罪，将依法追究其刑事责任。
二、处罚流程
立案：
- 发现涉嫌损坏城市绿化设施的违法行为后，相关部门会进行审查，决定是否立案。
调查取证：
- 对立案的案件，指定专人负责，及时组织调查取证，包括亲临现场调查、收集证据等。
- 调查过程中，执法人员需出示执法证件，且不得少于两人。
审查：
- 案件调查终结后，会对案件违法事实、证据、调查取证程序、法律适用、处罚种类和幅度等方面进行审查，提出处理意见。
告知：
- 作出行政处罚决定前，会制作《行政处罚告知书》送达当事人，告知拟作出行政处罚的事实、理由、依据及结果，并告知当事人享有陈述、申辩的权利。
决定与执行：
- 制作《行政处罚决定书》，并在规定时间内送达当事人。
- 监督当事人在决定的期限内履行生效的行政处罚决定。
综上所述，私自损坏市政道路绿化将面临包括停止侵害、罚款、赔偿损失、治安管理处罚甚至刑事责任等一系列法律后果。因此，建议市民遵守相关法律法规，共同保护城市绿化环境。