超市给未成年卖烟私下协商不可以。针对这一问题，我将从以下几个方面进行分析：

一. 法律法规的明确禁止

• 根据《中华人民共和国未成年人保护法》第五十九条，明确禁止向未成年人销售烟、酒、彩票或者兑付彩票奖金。这一规定是强制性的，没有任何私下协商的余地。

二. 对未成年人的特殊保护

• 未成年人由于心智尚未成熟，缺乏足够的判断力和自控力，容易受到不良诱惑。法律对未成年人的特殊保护，旨在防止他们受到不良商品的影响，私下协商并不能改变这一立法初衷。

三. 法律责任的明确性

• 根据《中华人民共和国未成年人保护法》第一百二十三条，相关经营者违反规定向未成年人销售烟、酒等商品，将面临严格的法律责任，包括罚款、停业整顿甚至吊销营业执照等。这显示了法律对此类行为的严厉打击态度，私下协商并不能免除这些法律责任。

四. 私下协商的无效性

• 私下协商往往缺乏法律约束力和执行力，即使双方达成了某种协议，也不能改变法律明文规定的内容。而且，一旦发生纠纷或违法行为被查处，私下协议将不能作为免责或减轻责任的依据。

综上所述，超市给未成年卖烟私下协商是违法的，也是无效的。我强烈建议超市等经营者严格遵守相关法律法规，不得向未成年人销售烟、酒等禁止商品。同时，家长和社会各界也应加强对未成年人的教育和保护，共同营造一个健康、安全的成长环境。如有进一步需要，您可以继续咨询我。