双方打架构成轻伤二级，是可以私下协商的。但需要注意的是，私下协商必须是在双方自愿且合法的基础上进行，且不能免除可能存在的刑事责任。以下是对此问题的详细分析：

1. 私下协商的合法性：

   • 在轻伤及以下的伤害案件中，当事人双方若能就赔偿等事宜达成一致，是可以通过私下调解的方式来解决纠纷的。这样既可以避免诉讼程序的繁琐，也能在一定程度上减轻双方的负担。
   • 双方私下和解时，应当签订详细且合法的赔偿协议以及谅解书等相关文件，以此最大程度地保障双方的权益。

2. 刑事责任的影响：

   • 虽然双方可以就民事赔偿部分进行协商，但这并不代表刑事部分也能简单处理。因为刑事案件属于公权力介入范畴，即使双方达成和解，司法机关仍会根据案件具体情况做出相应处理。
   • 如果公安机关已经介入，并认为有必要提起公诉，即便双方已经私下和解，案件依然可能继续按照刑事诉讼程序进行。

3. 法律建议：

   • 在进行私下协商时，建议双方保持冷静，理性沟通，确保协商过程合法、自愿、公平。
   • 如果协商达成一致，务必签订详细的赔偿协议和谅解书，并妥善保存相关证据。
   • 如果协商无果或担心自身权益受损，可以及时咨询专业律师或寻求法律援助。

综上所述，双方打架构成轻伤二级可以私下协商，但需注意协商的合法性和自愿性，以及可能存在的刑事责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。