银行在逾期客户未还款的情况下，确实可能会联系客户并正式起诉。具体分析如下：

一. 银行起诉逾期客户的法律依据

1. 借款合同的约定：根据《中华人民共和国民法典》第六百七十五条，借款人应当按照约定的期限返还借款。若逾期未还，银行作为贷款人，有权催告借款人在合理期限内返还，这是银行起诉逾期客户的基础法律依据。
2. 起诉的合法性：当借款人逾期未还款，且银行已经催告过在合理期限内仍未还款时，银行有权选择通过法律途径来维护自身权益，包括正式起诉逾期客户。

二. 银行起诉逾期客户的实际流程

1. 催款通知：在正式起诉之前，银行通常会通过电话、短信、邮件等方式催告逾期客户尽快还款，并给予一定的宽限期。
2. 正式起诉：若客户在宽限期内仍未还款，银行可能会委托律师或自行向法院提起诉讼，要求客户承担还款责任及可能产生的利息、罚息等费用。
3. 法律后果：若法院判决客户败诉，客户需按判决来履行还款义务。若有能力执行而拒不执行，情节严重的，还可能触犯《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，构成拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。

我的观点：银行在逾期客户未还款的情况下，会先尝试通过催款通知等方式与客户沟通，若沟通无果，则可能会选择正式起诉来维护自身权益。因此，建议逾期客户在收到银行的催款通知后，应尽快与银行协商还款事宜，避免不必要的法律纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。