当遇到事故认定对方全责但对方不报保险的情况时，您可以按照以下步骤来处理：
一、与对方沟通协商
首先，尝试与对方进行友好沟通，明确告知对方其全责的事实，并要求其向保险公司报案并配合理赔。您可以向对方解释，这是其作为责任方应尽的义务，也是快速解决事故赔偿问题的有效途径。
二、收集并保存证据
在与对方沟通的同时，务必妥善收集并保存所有与事故相关的证据。这些证据包括但不限于：
三、向自家保险公司申请“代位求偿”
如果与对方沟通无果，您可以向自己的保险公司申请“代位求偿”。代位求偿是指，在保险事故中，因第三者对保险标的的损害而造成保险事故的，保险人自向被保险人赔偿保险金之日起，在赔偿金额范围内代位行使被保险人对第三者请求赔偿的权利。简单来说，就是您的保险公司会先赔付您的损失，然后再由保险公司去向责任方追偿。
在申请代位求偿时，您需要提供上述收集到的证据，以便保险公司进行核实和理赔。
四、向法院起诉索赔
如果代位求偿仍然无法解决问题，且您的损失较大，那么您可以考虑向法院起诉对方及其保险公司，要求他们承担赔偿责任。在起诉过程中，您需要提供充分的证据证明事故的发生、责任划分以及您的实际损失。
法院会根据事实和证据进行审理，并作出公正的判决。如果对方仍然不履行赔偿义务，您可以申请强制执行，通过法律手段强制对方进行赔偿。
总之，在遇到对方全责但不报保险的情况时，您应该保持冷静，通过沟通、收集证据、申请代位求偿或起诉等途径来维护自己的合法权益。同时，也要了解相关的法律法规和保险条款，以便更好地应对和处理这类问题。