楼下商铺购买人底商算业主，且其身份是合法的。以下是详细的分析：

1. 业主身份的定义：

   • 在法律上，业主通常指的是物业的所有权人，即依法享有物业的所有权，并承担相应义务和责任的个体或组织。
   • 楼下商铺购买人，作为商铺的所有权人，自然也属于业主的范畴。

2. 底商业主的合法性：

   • 底商作为商铺的一种，其购买人同样享有商铺的所有权，并需承担相应的物业管理费、维修基金等费用。
   • 购买底商的行为，只要符合相关法律法规的规定，如购房资格、资金来源合法等，那么其业主身份就是合法的。

3. 业主权利与义务：

   • 作为业主，楼下商铺购买人享有对商铺的占有、使用、收益和处分的权利。
   • 同时，他们也需要遵守物业管理规定，参与业主大会，共同决定物业管理事项，并按时缴纳相关费用。

综上所述，楼下商铺购买人底商算业主，且其身份是合法的。他们享有业主的权利，并需承担相应的义务。如有任何关于房产或物业纠纷的问题，欢迎随时向我咨询。