员工私自往下水道倒污水，公司确实有可能会被罚款。下面我来详细解释一下这个问题：

首先，从法律角度来看，员工私自往下水道倒污水的行为违反了环境保护的相关法律法规，对环境造成了损害。企业作为生产经营单位，有责任和义务确保其生产经营活动以及员工的行为符合环保要求。因此，当员工的行为违背这一责任时，企业有可能因此承担法律责任。

其次，根据相关法律规定，对于此类环境违法行为，相关部门可以依法对责任单位处以罚款等行政处罚。罚款的数额通常会根据污染的程度、造成的损失以及企业的整改情况等因素来确定。这不仅是对企业的惩罚，也是对企业及其员工重视环境保护的提醒。

最后，如果员工私自排污水的行为造成了严重的环境污染事故，企业还可能面临更严厉的法律制裁，包括刑事责任等。这体现了法律对环境保护的重视和对违法行为的坚决打击。

因此，作为企业，应该加强员工的环保教育和培训，确保员工了解并遵守环保法律法规。同时，企业也应该建立完善的环保管理制度和监管机制，防止类似行为的发生。如果一旦发生此类行为，企业应该积极采取措施进行整改，并主动配合相关部门的调查和处理工作。

如果你在这方面还有更多问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。