当夫妻一方逝世后，其银行存款的处理方式主要取决于存款的性质、是否知晓存款密码、存款金额以及是否存在其他继承人。以下是对这一问题的详细解答：
一、存款性质与继承权
夫妻共同财产：
- 夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产通常视为共同财产。
- 一方去世后，共同财产需首先均分，其中一半归在世配偶所有，剩余部分作为去世一方的遗产。
个人财产：
- 若能证明存款为去世一方的婚前财产，或已通过遗嘱、赠与合同等确定为个人所有，则该存款全额作为遗产。
二、存款的处理方式
知晓密码且存款金额较小：
- 若在世配偶知晓去世者的银行存款密码，且存款金额不超过银行规定的限额，通常可以直接凭存单（折）、银行卡及密码前往银行办理取款业务。
未知密码或存款金额较大：
- 在这种情况下，存款属于遗产范畴，需按照《民法典》规定的继承顺序进行分配。
- 继承人需携带身份证、户口簿、结婚证、被继承人的死亡证明、存款凭证等相关材料，到当地公证机构办理继承公证，或向法院提起诉讼解决争议。
- 银行在收到有效的继承权证明（如公证书、法院判决书等）后，会按照证明文件的内容将存款分配给相应的继承人。
特殊情况：
- 若去世者生前立有遗嘱，并明确指定了存款的继承人，则继承人需按照遗嘱内容办理继承手续，可能涉及遗嘱原件、遗嘱公证等相关文件。
- 若存款涉及到其他继承人（如子女、父母等），则需所有继承人共同协商并签署相关文件，如遗产分配协议或同意书。
三、建议与注意事项
- 咨询专业人士：在处理银行存款时，建议咨询专业的律师或法律顾问，以确保自己的权益得到保障，并遵守相关法律法规和道德规范。
- 准备齐全材料：办理继承手续时，务必准备齐全相关材料，如身份证、户口簿、结婚证、死亡证明、存款凭证等。
- 注意存款安全：在未知密码或存款金额较大的情况下，应尽快办理继承手续，以确保存款的安全和合法继承。
综上所述，夫妻一方逝世后，其银行存款的处理方式需根据具体情况而定。在处理过程中，应充分考虑各继承人的合法权益及实际情况，确保遗产分配的公正与合理。